库默尔的困惑

1846年，德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）初次留神到了一个与数字关联的猜疑，并随之淡薄了一个揣摸。自那之后，寻找这个揣摸的诠释便成了许无边学家的方针。

到了20世纪50年代，普林斯顿高级商讨院（IAS）的一组商讨东谈主员用策画机对这个问题进行了商讨，发现库默尔所以为的这一数论的奇特特征其实是错的。但之后，一些数学家又发现了能够标明这一揣摸本色上是正确的迹象。

在经过一番鬈曲之后，刻下，来自加州理工学院的两位数学家Alexander Dunn和Maksym Radziwill终于为这个谜题画上了完好的句号，他们找到了把柄诠释——库默尔一直是对的。2021年9月，他们将诠释发表在了预印网站arXiv上。

二次和三次高斯和

这个数学谜题与高斯和（Gauss sum）关联。高斯和是由18世纪知名数学家卡尔·弗里德里希·高斯发展出的一个复杂观点，它能够很容易地映射方程解的漫步。

这种乞降波及到模运算。领略模运算的一个精真金不怕火要害便是类比咱们生存中常见的钟表：表盘被分红12份，每份代表一个小时，当中午或午夜到来时，数字就会重置并复返到1。

模运算是数学中的一种剥离信息，使复杂到不可想议的方程变得更精真金不怕火的有用要害。这个“模12”系统简化了计时经由，使咱们不需要无停止地一直计数每一个小时。

在策画二次高斯和时，高斯也用到了与钟表计时颠倒近似的模运算。他商讨的口角平日素数（用p暗示，指除以3后尾数为1的素数）的二次高斯和的漫步，这些素数p以e2iπn^2/p的面貌相加。

二次高斯和。

到了19世纪中期，库默尔运行感酷好酷好于一个与二次高斯和很近似的公式，将e2iπn^2/p的指数中的n²替换成了n³。那时，他只可依靠笔和纸对这些和进行策画，策画难度颠倒大。并且为了能将谜底一个一个地绘画在一条数轴上，他还必须先将数值谜底正规化，使它们齐落在-1到1之间。

三次高斯和。

他忙绿地策画了前45个非平日素数的三次高斯和。在绘画出数值漫步后，他不雅察到了出乎料想的后果：表面上，经过正规化的三次高斯和不错是-1到1之间的任何值，但他却发现这些后果的漫步并不是均匀飞速的，而是更多的趋向于集合在数轴的正向端，也便是1隔壁——约有一半在1/2到1之间，1/6在-1到-1/2之间。

也便是说，库默尔不雅察到了一种偏倚。于是，他淡薄揣摸：若是能绘画出无尽多个三次高斯和的漫步，会发现它们大多位于1/2到1之间，−1/2到1/2之间较少，−1到−1/2之间更少。

库默尔错了？

时分来到上世纪50年代，由数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）与约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）等东谈主运行用早期策画机策画系数小于10,000的非平日素数的三次高斯和，这一策画梗概包含了1500多万次的乘法运算。当他们将这梗概600个数值后果标记在数轴上时，感触地发现，之前库默尔看见的偏倚脱色不见了。

他们留神到，跟着素数变得越来越大，正规化的高斯会通越来越倾向于不集合在1隔壁，而是呈飞速漫步。他们以为，库默尔的揣摸大要错了。

1978年，剑桥大学的数学家塞缪尔·帕特森（Samuel Patterson）试图更深刻地领略三次高斯和。他对这一问题的商讨始于想考将这些数字飞速放在-1和1之间的情况：若是将N个这么的飞速数字相加，那么总额的尺度大小将为√N（它不错是正的或负的）。相似，若是三次高斯和均匀地漫步在−1到1之间，那么就不错预期N个高斯和的总额梗概为√N。

带着这个想法，帕特森把N个三次高斯和加起来，并暂时忽略了齐是素数的要求。他发现总额会落在N5/6摆布，N5/6比√N大，但比N小。这个值告诉了帕特森一些进攻的信息：在更早的技能，罕有学家如故诠释，一组委果飞速的后果之和梗概为√N，若是总额约为N5/6，则意味着这些和基本上是飞速的，但存在一个细小的独特成分会使它们稍微更向恰好偏倚。

若是情况真是如斯，那么就解释了为什么库默尔的后果看起来并非飞速，以及为什么飞速性会跟着素数的增多而越趋昭着：这是一个渐进问题，当N较小时，这个独特的成分足以以昭着的形状影响后果，透露出偏倚；但跟着N越来越大，漫步中的飞速性就会运行盖过偏倚，是以能够看到的就只消飞速性。

帕特森以为，若是能不雅察到无限个三次高斯和的面貌，就会发现它们是均匀漫步的。可惜的是，帕特森无法用素数进行这么的策画。1978年，他崇拜将它写成了一个揣摸：若是把素数的三次高斯和相加，能得到交流的总额落在N5/6摆布的情况。

诠释帕特森揣摸

帕特森我方无法诠释这个揣摸，直到客岁，Dunn和Radziwill才终于弄判辨究竟为什么会这么。

两年前，Dunn和Radziwill决定一齐破解帕特森揣摸问题。他们的科罚决策是基于牛津大学的罗杰·希想-布朗（Roger Heath-Brown）的责任。希斯-布朗曾和帕特森互助商讨过这个问题，那时，两东谈主的互助在这个问题上得到了一些进展，但仍然不行委果诠释帕特森展望的N5/6偏倚情况对素数来说也开荒。

然后在2000年，希斯-布朗得到了一项糟塌，他发明了一种名为三次大筛法的器用，这个器用在匡助诠释帕特森揣摸方面发扬了要紧作用。他诠释了若是将小于N的素数的三次高斯和相加，后果不会比N5/6大好多。不错说，希斯-布朗离凯旋如故颠倒接近，但仍莫得终局完整的诠释。

希斯-布朗以为通过校正直筛法自己，还能进一步改善后果，从而诠释帕特森的揣摸。通过简陋的笔墨，他勾画出了他以为的最佳公式。但在这之后，数学家们鲜少得到进展。

直到连年来，Dunn和Radziwill发现，当他们使用希斯-布朗在2000年写下的三次大筛法的公式时，刚毅到这似乎存在一些不合的场所，大筛法并不行很好地运作。于是，他们再行校准了商讨帕特森揣摸的要害。

2021年9月15日，他们发布了他们的论文。他们的诠释似乎是到手的，除了还有终末一个小问题：在他们的诠释中，有一个部分依赖于尚未被诠释的广义黎曼揣摸，这也使得他们的诠释是有条款的。

被指出“犯了错”的希斯-布朗在了解了这篇新的论文后并莫得改悔，而是以为Dunn和Radziwill出东谈主料想地瞻念察了三次大筛法中的问题，匡助数学家们开脱了大筛法的误导，为这一问题带来惊喜的结局。

#创作团队：

撰文：佐佑

排版：雯雯

#参考开端：

https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle

https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/

https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065

https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf

#图片开端：

封面图&首图：PIRO4D / Pixabay